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# **动态规划（Dynamic Programming）详解与Python代码示例**

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# 动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种在数学、计算机科学和经济学中广泛使用的算法设计技术，用于解决包含重叠子问题和最优子结构性质的问题。其核心思想是将待求解的问题分解为若干个子问题，并保存子问题的解，以避免重复计算，从而提高算法效率。

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# ### 动态规划的基本原理

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# 动态规划通常包含以下几个基本步骤：

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# 1. **定义状态**：将原问题划分为若干个子问题，并为每个子问题定义一个或多个状态变量。

# 2. **确定状态转移方程**：根据问题的性质，确定状态变量之间的关系，即如何从已知的子问题解推导出当前问题的解。

# 3. **确定初始条件**：为最小规模的子问题设定初始条件，作为求解的起点。

# 4. **递推求解**：从初始条件出发，利用状态转移方程逐步求解更大规模的子问题，直至得到原问题的解。

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# ### Python代码示例：斐波那契数列

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# 斐波那契数列是一个典型的动态规划问题，其定义为：F(0) = 0, F(1) = 1, 对于n > 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)。

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# 下面是一个使用动态规划求解斐波那契数列的Python代码示例：

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# 使用动态规划求解斐波那契数列

def fibonacci(n):

    # 初始化一个列表用于保存子问题的解

    dp = [0] * (n + 1)

    

    # 确定初始条件

    dp[0] = 0

    dp[1] = 1

    

    # 递推求解

    for i in range(2, n + 1):

        # 状态转移方程：F(i) = F(i-1) + F(i-2)

        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

    

    # 返回原问题的解

    return dp[n]



# 示例：计算斐波那契数列的第10项

print(fibonacci(10))  # 输出：55



# 注释说明：

# - dp列表用于保存子问题的解，dp[i]表示斐波那契数列的第i项。

# - 初始条件为dp[0] = 0和dp[1] = 1，对应斐波那契数列的前两项。

# - 递推求解过程中，从i = 2开始，根据状态转移方程dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]计算dp[i]的值。

# - 最后返回dp[n]，即斐波那契数列的第n项。
